Der Ursprung ist ein lokales Minimum von $f(x,y)=x^3+y^2$ .

2a:T7b3,

$\nabla f(x_0)=0$ und $H$ ist positiv oder negativ definit.

2b:Td7a,

Sei $f(x,y)=\cos x+\sin y$ und $x_0=(\pi,3\pi/2)$ .

2c:Tbcb,

\nabla f(x_0)=(-\sin\pi,\cos(3\pi/2))=(0,0).

2d:Tf78,

H_f(x_0)=\operatorname{diag}(-\cos\pi,-\sin(3\pi/2))=\operatorname{diag}(1,1).

2e:T8d7,

Sei $f(x,y)=x^4+y^4$ .

2f:Td81,

$f(x,y)>0=f(0,0)$ für $(x,y)\ne(0,0)$ .

30:T1010,

\nabla f(0,0)=0,\qquad H_f(x,y)=\operatorname{diag}(12x^2,12y^2).

31:T664,

$H_f(0,0)=0$ .

32:T815,

An einem kritischen Punkt einer $C^2$ -Funktion ist $H=\operatorname{diag}(2,5)$ . Der Punkt ist ein striktes lokales Minimum.

33:T678,

$x^4+y^4$ besitzt ein striktes Minimum mit Hesse-Matrix null. Die hinreichende Bedingung ist nicht notwendig.

34:Tea9,

Es gilt $\nabla f(x_0)=0$ und $H=\operatorname{diag}(-1,-3)$ . Dann ist $x_0$ ein striktes lokales Maximum.

35:Tf67,

Für $f(x,y)=x^4+y^4$ ist der Ursprung ein striktes lokales Minimum mit $H_f(0,0)=0$ .

36:Ta68,

Beim Beispiel $x^4+y^4$ ist $H(0,0)=0$ , obwohl jeder andere Punkt einen grösseren Wert hat.

37:T1263,

Für $f(x,y)=x+x^2+y^2$ ist $H_f(0,0)=\operatorname{diag}(2,2)$ . Der Ursprung ist ein striktes lokales Minimum.

38:T5d2,

Es gilt $\nabla f(0,0)=(1,0)$ . Der Punkt ist nicht kritisch; positive Definitheit der Hessischen reicht dort nicht.

39:T957,

Bei $f(x,y)=-x^4-y^4$ liegt ein striktes Maximum mit Hessischer null vor. Null-Eigenwerte sind möglich.

3a:T11be,

Vergleiche $f(x,y)=x^4+y^4$ und $g(x,y)=x^4-y^4$ im Ursprung.

3b:T1261,

$\nabla f(0,0)=\nabla g(0,0)=0$ und $H_f(0,0)=H_g(0,0)=0$ .

3c:Taf8,

$f(x,y)>0$ für $(x,y)\ne(0,0)$ .

3d:Tdfa,

$g(t,0)=t^4>0$ und $g(0,t)=-t^4<0$ .

3e:T71c,

Sei $x_0$ ein lokales Minimum einer $C^2$ -Funktion.